前幾日有朋友問起一個問題：如果把一顆完美的圓鐵球放在一塊完美的平面上，球與平面的接觸點(diǎn)是多大，它會是無限小嗎？
平面上的鐵球
這是個有趣的問題。從數(shù)學(xué)上講，球體與平面相接觸它就是一個點(diǎn)，點(diǎn)是一維的，表示無窮小。但實(shí)際上這不可能，因?yàn)闊o窮小的接觸面積意味著壓強(qiáng)無窮大。所以我們還是得從物理上來分析分析。
學(xué)過平面幾何的朋友都知道，當(dāng)一個圓與直線相切時，直線正好觸及圓周上的一個點(diǎn)。圓周上任意一個點(diǎn)與其左右相鄰的兩個點(diǎn)都不處于同一條直線上。
但是當(dāng)我們學(xué)到這個知識點(diǎn)時，你只能在頭腦里“意會”圓與切線的關(guān)系，在紙上無論你怎么畫，圓與直線相接觸的都會是“一條線段”而不是一個點(diǎn)。
數(shù)學(xué)上的切線點(diǎn)需要“意會”
同樣在數(shù)學(xué)上，一個球體與平面相接觸，它們接觸的也必然只是一個點(diǎn)，如果你認(rèn)為那是一個面，說明你的想象力不夠。
數(shù)學(xué)里許多最基礎(chǔ)的東西都需要靠我們發(fā)揮想象，一維的“點(diǎn)”、“線”以及二維的“面”在現(xiàn)實(shí)世界中并不存在，至少在物理上你找不到絕對理想化的點(diǎn)線面，這些概念只是我們?yōu)榱朔奖阌?jì)算而創(chuàng)造出來。用筆在紙上戳一個點(diǎn)，或者畫一條線段，老師會教我們說這是“點(diǎn)和線”，但你如果用放大鏡觀察它，便會發(fā)現(xiàn)那其實(shí)是一個墨跡留下的面；而要是將其放在顯微鏡下，你便能看到被染黑的纖維叢——它們既不是點(diǎn)線，也不是平面，而是“體”。
顯微鏡下鉛筆在紙面畫的線
在物理上，即便是最圓、最光滑、最完美的鐵球，它依然是由一堆鐵原子聚集在一起構(gòu)成的物體。常溫下，鐵原子之間通過共價鍵形成一個個體心立方晶體，進(jìn)而組合成鐵。
用最先進(jìn)的電子顯微鏡觀察鐵球，它的表面也不是光滑無暇，而是由鐵原子核外圍電子云簇?fù)碇纬傻囊粋€個“球”。
鐵球表面是緊密排列的原子
由此可見，我們認(rèn)為“最完美”的鐵球，在物理上也不完美，其表面并非我們想象的那么平滑，而是如同排列整齊的雞蛋一般。
這些由原子“蛋”排列而成的表面無論接觸到什么樣的平面，它們的接觸面必然不是一個“點(diǎn)”，而至少是“三個點(diǎn)”，因?yàn)閿?shù)學(xué)老師告訴我們只有三個點(diǎn)才能構(gòu)成一個穩(wěn)定的面。
鐵球真能以三個原子作為支撐點(diǎn)穩(wěn)定放置在一個平面上嗎？還是不行。因?yàn)楫?dāng)鐵球與地面接觸時，在引力的作用下，鐵球與地面接觸的地方會發(fā)生變形。
有朋友會說，鐵很硬，我們用最硬的金剛石打造一個光滑平面，難道也會變形？當(dāng)然會。
鉆石表面是由晶胞構(gòu)成的平面
金剛石由碳原子組成，在金剛石晶體中，每4個碳原子構(gòu)成穩(wěn)定的四面體晶胞。即使將鉆石打磨得極其平整，物理結(jié)構(gòu)決定了其表面也是如雞蛋般交錯排列的碳原子。
我們假設(shè)有一顆100克的鐵球，它只有三個原子與“光滑”金剛石地面接觸，計(jì)算一下接觸點(diǎn)的壓強(qiáng)。
鐵原子的共價半徑只有132pm【皮米，一萬億分之一米】，三個鐵原子所構(gòu)成的平面面積大約為3.48×10^(-20)平方米，一顆100克的鐵球壓力為0.98牛頓，作用在接觸面的壓強(qiáng)達(dá)到2.8×10^(19)Pa，約相當(dāng)于2.78百萬億個大氣壓！
在如此巨大的壓強(qiáng)下，鐵球表面迅速變形，金剛石與鐵球的接觸面也會發(fā)生凹陷，于是二者的接觸面積增大，直到壓強(qiáng)與鐵球自身的彈性模量（211GPa）平衡，這需要接觸面數(shù)以十億計(jì)的鐵原子共同支撐才行！
鐵球與地面接觸時會發(fā)生彈性變形
現(xiàn)在你應(yīng)該明白了：許多數(shù)學(xué)上常見的概念在現(xiàn)實(shí)中并不存在對應(yīng)的物體；最完美的鐵球也是由原子構(gòu)成，它的表面不是絕對平滑；當(dāng)將鐵球放置在平坦表面，接觸面的原子會因巨大的壓強(qiáng)而移位，鐵球變形，地面也會發(fā)生凹陷。于是球體與地面之間不再是一個點(diǎn)，而是一個由原子交錯咬合形成的圓形區(qū)域。
